틀리길 잘 했다!

이번 양정고2 수학1 중간고사는 “무난했다” 수준입니다. 특정한 발상에 도달해야만 풀 수 있는 문제가 하나도 없고, 일반적인 해법을 꾸준히 연습해 왔다면 좋은 점수를 받을 수 있었다는 이야기입니다. 이런 시험에서 틀렸던 문제들은 반드시 교훈을 남겨야 합니다. 하나 틀릴 때마다 문제에 대한 일반적인 해법을 하나씩 남길 수 있다면 분명 “남는 장사”입니다.

단순히 다시 한 번 풀어보는 오답이 아니라, 교훈을 남기는 오답을 할 수 있다면, 어쩌면 “틀리길 잘한” 것일 수도 있습니다. 아무쪼록 이번 "틀린 문제“가 ”실력“으로 남기를 바랍니다.

1~5번  

첫 면은 으레 그러하듯이 일반적인 계산실력을 묻는 문제입니다. 혹시 3번 같은 문제가 헷갈렸다면 “거듭제곱근을 방정식의 관점에서 생각할 수 있어야 한다”는 교훈을 남겨주고 싶습니다. b의 세제곱근이라는 건 그저 x^3=b의 근이라는 뜻입니다. 이렇게 생각할 수 있다면 거듭제곱근 문제에서 헷갈리는 일은 완전히 없어집니다.

6번

쉬운 삼각함수 변형 문제입니다. 근과 계수와의 관계랑 연결해서 출제되었지만, 아마 문제집별로 여러 개 있는 유형이니까 능숙하게 풀었으리라 생각합니다.

7번

아, 나왔습니다. 지수/로그함수에서 학생들이 은근 제일 어렵게 생각하는 것은 “치환 후 근의 분리”와 연결해서 생각하도록 만든 문제입니다. 치환한 후에 대칭축이 x=-2라는 것에 유의하면서 그래프 한 번 그려 봤으면 안 틀릴 수 있는 문제입니다. 키포인트는 “지수함수의 치역”과 “근의 분리” 두 가지로 잡을 수 있겠으나, 학생들이 틀렸다면 아마 근의 분리가 능숙하지 못해서일 가능성이 높습니다. “그래프 먼저!” 근의 분리 문제를 풀 때 가장 중요한 원칙입니다.

8번

흔히 나오는 로그의 진수조건 밑 조건 문제이며, 진수 자리에 있는 식 때문에 이차꼴 절대부등식에 대한 이해도 있어야 하는 문제입니다. 절대부등식을 판별식과 연관지어 생각할 수 있는 능력이 필요합니다. 또한, 만약 a=0인 경우, 즉 이 식이 이차식이 되지 않는 경우를 놓치지 않는 꼼꼼함을 되새깁시다.

9번

a/b=10^n(n은 정수) 식 하나 써 놓고 순서쌍 따져 나가면 되는 문제입니다. 뭐, 개수가 굉장히 많은 것도 아니니 이 정도면 순서쌍 개수 문제로 무난한 편입니다.

10번

자주 하는 이야기입니다. “각을 이용해서 길이를 표현하는 능력”을 묻는 문제입니다. 이번 시험 범위에서는 특수각들에 대해서 물어봤지만, 이과의 경우 나중에 각이 0에 가까워지는 경우와 관련하여 수없이 많이 풀어야 하는 문제들에 꼭 필요한 능력입니다. 이 문제는 쉬운 편이니 대체로 풀었으리라 생각하지만, 일단 직각이 보일 때마다 직각 표시를 해 놓고 문제에 접근해 나가는 습관을 들여야 합니다. 나중에 원의 접선이 보여도 직각 표시, 지름에 대한 원주각이어도 직각 표시... 직각은 반드시 찾아 나가야 합니다.

11번

1학년 때 배운 내용 중에 학년이 올라가도 계속 반복되어 나오는 대표적인 단원이 “원”과 “함수”입니다. 특히 원의 접선과 관련된 내용은 두 가지 해법(직각 조건, d=r), 세 가지 유형(위의 점, 기울기, 밖의 점)으로 나누어서 능수능란하게 알아두어야 합니다. 이게 만약 헷갈렸다면 기회라고 생각하고 기말 내신 들어가기 전에 원의 접선과 관련한 문제들 좀 풀어가면서 익숙해지도록 하세요.

여기까지 하고 나면 그냥 삼각함수의 정의 문제입니다. sin의 정의는 이제 (높이)/(빗변)이 아니고 y/r입니다. “정의”가 제일 중요합니다.

12번

좋은 문제네요. 점근선이 있는 그래프에서 점근선은 굉장히 중요한 출제 포인트입니다. 그래프를 능수능란하게 그릴 줄 아는 것은 물론, 점근선의 의미도 잘 알아야 합니다. 점근선은 쉽게 말하면 “가까워질 수는 있지만, 결코 가질 수는 없는 값”입니다. (수업 시간 중에 농담으로 점근선만 보면 견우와 직녀 이야기가 생각나서 눈물이 나려고 한다고 하기도 합니다) 로그함수는 진수가 0이 되는 값, 탄젠트 함수는 (홀수)pi/2.

13번

a, b가 둘다 1보다 큰 경우에 그냥 직관에 의존하는 경우가 많습니다. 그랬다면 틀렸겠죠. 지수함수의 정의역은 실수 전체입니다. p<0인 경우를 따로 따져줘야 합니다. 아, 엄청 귀찮네요. 아뇨, 그래프를 “제대로” 그려놓고 생각했다면 그냥 끝날 문제입니다. “제대로”의 의미는 “밑이 1보다 크면 밑이 클수록 y축에 붙게” 그리는 것을 말합니다. 그리세요!

14번

교육 과정이 바뀌고 나서 상용로그 문제는 사실 실생활 응용 말고는 안 내는게 정확한 교육과정입니다. 때때로 정수부분/소수부분과 관련해서 묻는 문제가 내신에서 출제되곤 하는데, 확실히 수능에는 안 나옵니다. 뭐, 교육 과정에 굉장히 정확히 들어맞는 문제네요.

문제가 길면 감사해야 합니다. 시키면 시키는데로만 하면 답이거든요.

15번

비슷한 유형의 문제가 “삼각함수 & 원점 지나는 직선”과 관련해서 문제집마다 많이 출제되어 있습니다. 삼각함수가 주기함수라는 점, 그리고 원점 지나는 직선의 기울기를 작게 줘서 1보다 작은 범위에서 교점이 형성되게 만드는 것. 뭐 이런 방식으로 문제를 만듭니다.

이 문제는 사실 똑같은 유형입니다. 삼각함수 대신 직선을 이용해서 주기함수를 만들었고, 기울기가 작은 직선 대신 로그함수를 사용했네요. 로그함수가 굉장히 느리게 증가하는 함수라는 것은 수능에서도 굉장히 자주 응용되어왔던 사항입니다. 뭐, 좋은 문제네요. 어렵지도 않고.

쉽게 그래프의 교점을 물었지만, 만약 f(x)=log_2n |x|의 해의 개수와 관련해서 물어봤어도 똑같은 방식으로 풀 수 있어야 합니다. 방정식의 해는 그래프 교점의 x좌표.

서술형 1번

간단한 지수 계산문제입니다. 만약 (2)번을 로그까지 써서 복잡하게 풀었다면 유형에 아직 익숙하지 않는 겁니다.

서술형 2번

어려운 것 같지만 시키면 시키는데로 하면 답이 그냥 답이 나오는 문제입니다. 역함수를 구하는 방법, 로그 계산에 대한 익숙함 이런 것들이 키포인트가 되겠네요.

서술형 3번

삼각함수 그래프 문제입니다. (1)번은 다들 풀었을 것 같고, 만약 (2)번에서 계산하고 있느라 시간을 보냈다면 수학에서 가장 중요한 원칙 중 하나를 잊고 있었던 겁니다. "Graph, First!" 그래프만 그렸다면 간단한 대칭성 문제가 됩니다.

양정고 시험은 대체로 서술형이 배점에 비해 난이도가 높지는 않은 경우가 많은데, 올해도 마찬가지였습니다. 뭐, 올해 시험이 쉬운 편이라 별로 막히지 않았겠지만, 보통은 양정고 수학 시험은 객관식 앞쪽부터 쭉쭉 풀어나가다가 객관식 뒤쪽에서 막히기 시작하면 서술형 점수부터 챙기고 다시 돌아오는게 유리한 편이죠. 객관식 뒤쪽 어려운 문제 풀다가 “배점 큰 쉬운 문제” 놓치면 안 되니까요.

사실 수학 전체에서 초월함수 두 개를 한꺼번에 배워서 시험을 치는 것이 쉬운 일은 아니었을 겁니다. (둘다 이전 교육과정에서는 미적분2의 내용이죠) 특히 문과 학생들은 교육과정이 바뀌면서 추가된 내용 중 가장 어려운 부분을 이번에 시험을 친 겁니다. 다만 문제가 꽤 무난한 편이라, 실력있는 학생들은 대체로 점수를 지킬 수 있었으리라 생각됩니다.

세부적으로 틀린 문제가 몇 개 있다면 그 문제마다 교훈을 남기면 됩니다.

전체적으로 “이번 시험은 망쳤어!”라는 느낌이라면 해법을 딱 드릴 수 있습니다.

수1, 수2, (이과의 경우) 미적분, 기하...

지금부터 수학은 “미술”입니다. 그리세요!

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