Intro

쉬웠던 수학I에 비해서 어려웠다고 평가받는 수학II 중간고사. 그냥 어려웠다고 치부하기엔 좀 특이한 문제들이 섞여있습니다. 즉, “요번에 일품까지 풀었는데 이런 문제들 적응하기 위해서 기말에는 블랙라벨, 일등급수학까지 풀어야지” 해서 해결될 문제 스타일이 아니더군요. 간단한 문항분석 후에 학생들이 어렵게 느꼈던 이유, 그리고 그에 대한 해법까지 짚어볼까 합니다.

 

세부문항

 

1~4번

언제나 그렇듯이 1면은 쉽습니다. 3번에서 눈치가 빠른 학생들은 그냥 이 식을 항등식같이 생각해서 계수비교를 함으로써 시간을 조금 아꼈을 것이고, 만약 4번에서 틀렸다면 샌드위치 정리를 좀더 공부해 두세요. 음, 좀더 짚어두자면 x가 양이나 음의 무한대로 갈 때 말고 특정한 값으로 가까워질 때 등호가 성립하는 함수가 어떤 것이 있을지 이번 기회에 공부해 두면 도움이 될 것 같습니다.

 

5번

첫 번째 의아함. 함수의 극한/연속에 관한 성질을 고등학교 과정에서 잘 증명시키지 않습니다. 뭐, 빈칸 채우기 정도니까 받아들일 수 있고, 답이 너무 뻔한 문제라 학생들은 대부분 맞췄으리라 생각하지만, 일반적인 이 단원에서 예상할 수 있는 문제들을 벗어난 첫 번째 예입니다.

 

6번

ㄱ을 맞다고 생각했다면, 좌극한과 우극한을 다시 공부해야 합니다. “원래 아는데요, 실수에요” 아닙니다. 좌극한과 우극한을 따지는 것은 정의와 관련된 것이기 때문에 “떠올리는” 것이 아니라 “몸에 밴” 것이 되어야 합니다.

문제는 ㄴ과 ㄷ입니다. 주어진 함수가 전구간에서 불연속인 함수네요? 문제 자체가 어렵다기 보다는 전구간에서 불연속인 함수를 고등학교 과정에서 흔히 다루지 않는다는게 낯설음의 시작일 것 같습니다. 고등과정에서 불연속은 연속인 가운데 연속이 되지 않는 점을 “x=a에서 불연속”이라고 짚을 수 있는 것이 핵심입니다. 대비해야 할 것이 늘어납니다.

게다가 ㄴ은 더 어렵습니다. 무한대가 특정한 숫자가 아니라 계속 커지고 있는 상태라는 것을 정확하게 이해하고 있어야 수월하게 답을 쓸 수 있을 것 같습니다. 쉽게 설명하자면, 아무리 큰 숫자를 대더라도 언젠가는 그것보다 커지는 상태가 무한대입니다. -ing로 이해할 수 있어야 ㄴ을 정확하게 설명할 수 있습니다. 학생들은 답을 많이 맞췄겠지만, 설명해야 할 부분은 제일 많은 문제입니다.

 

7번

의미만 잘 파악한다면 어렵지 않은 문제입니다. 문/이과 공통으로 시험문제를 내면서 이 유형 문제가 자주 눈에 띄네요. 요번에 이 유형의 문제를 두 개 학교에서 봤는데, 양정고 버전이 더 쉽더군요.

 

8번

많이 봤을 문제입니다. 분모가 0이 되지 않도록...이 핵심입니다. 이차함수는 정말 수능 당일까지 쫓아다닐 겁니다.

 

9번

뭐, 문제 자체야 어렵지 않습니다. 음... 로피탈 정리 쓰면 더 빠릅니다. 보통 로피탈 정리 쓰면 더 빠른 문제를 잘 안 내는데 나왔군요.

 

10번

합성함수의 극한. 어렵지 않은 형태로 출제되었습니다. 언제나 그렇듯이 합성함수 극한 문제는 극한이 문제가 아니라 합성함수가 문제입니다. 맞췄으리라 믿지만, 혹시 틀렸다면 합성함수 정의 따라서 문제 풀어나가는 훈련이 필요합니다.

 

11번

뭐, 극한의 성질을 잘 이해하고 있다면 쉽게 풀었을 문제입니다.

 

12번

구간에서의 연속에 대해서 정확하게 이해하고 있어야 풀 수 있는 문제입니다. 그런데, 구간에서의 연속은 문제집에서 자주 다루는 형식의 문제는 아닙니다. 아까 말씀드렸죠? 푸는 문제의 난이도만 올린다고 해결되는 형식의 문제들이 아닙니다. 구간에서의 연속에 대한 “엄밀한 정의”를 이해하고 있어야 풀 수 있는 문제입니다.

학생들이 많이 틀리지 않았을까 우려했지만, 학생들에게 물어보니 “선생님이 이거 꼭 낸다고 했던 거에요”라고 하더군요. 수업시간에 엄밀하게 가르쳐주셨던 모양입니다.

수업 잘 들으세요!!!

 

13번

원 밖의 점으로부터 가장 가까운 원 위의 점. 중심과 원 밖의 점을 연결한 직선과 원의 교점. 잘 아는 문제죠? 어렵지 않았습니다. 다만, 계산 과정에서 로피탈 정리 쓰면 또 더 빠릅니다. 흠... 로피탈 쓰면 계산이 간단해지는 문제가 객관식에서만 두 개째. 보통 로피탈 정리를 학생들이 쓰지 않게 하기 위해서 서술형에 내거나, 단순히 로피탈 쓰면 더 빠른 문제는 좀 기피하는 경향이 있는데 벌써 두 개째입니다. 중요체크!

 

14번

계산문제입니다. 일단 f(1)이 0이 아니라면 문제의 조건을 만족하지 않는다는 것을 보고 f(x)=(x-1)(x-a) 뭐 이렇게 둘 수 있으면 어렵지 않게 풀었을 것입니다. 혹은 센스를 발휘하여, 0으로 가는 놈이 너무 많으니 분자 분모를 f(x)로 나누어서 (루트x-1) / f(x)의 극한값이 1/2이 된다는 것을 이용하면 제일 빠르겠네요.

 

15번

처음 봤다면 쉽지 않았겠지만, 불연속인 함수를 곱해서 연속이 되게 만드는 문제는 여러 문제집에 잘 소개되어 있습니다. 불연속인 그 점에서 0이 되는 함수를 곱해주면 된다고 일반화되어 있으면 됩니다. 0과 a-3 두 군데가 문제가 되니 두 점에서의 극한값을 계산해 줘도 좋고, 그래프 그려서 x축방향 평행이동으로 풀어냈으면 훨씬 빨리 풀었을 겁니다.

 

16번

사실 수학II 문제가 어려울 것이라고 했다는 이야기에, 양정고 스타일이면 제일 많이 내겠거니 했던 문제가 16번같은 것입니다. 수능 / 모의고사 21번 스타일. 식이 아니라 제시문을 통해서 함수를 정의하는 스타일. 시키면 시키는데로 잘 하는 것이 시작입니다. 다만, 함수의 식을 직접 구하느라 고생한 학생과, 대칭/평행이동으로 함수를 이해한 학생의 속도 차이는 있었겠네요. 꽤 어려운 문제입니다.

 

17~21번

어렵지 않은 문제들입니다. 18번을 풀 때 극한값은 존재하지만 불연속인 점이 어떤 건지 그래프가 머리 속에 지나가면 쉬웠을 것입니다. 19번에서 합성함수가 x=a에서 연속이기 위한 조건을 정확하게 이해하고 있다면 미소를 띠면서 문제를 풀 수 있었겠네요. 뭐, 어렵지 않은 문제들이었습니다.

 

22번~서술형 1번

22번은 어렵지 않지만, 서술형 1번은 꽤 까다롭습니다. 위에 16번과 함께 수능 킬러문항 스타일입니다.

 

서술형 2번

음...독창적이지만 그리 감동적이지는 않네요. 루트x를 치환한 후에 근의 공식을 써서 대략적인 범위를 잡은 후에 그 근방의 값들을 대입하여 사잇값 정리를 쓴 흔적을 보여주면 되겠네요. 음... 루트x의 값은 황금비네요. 선생님의 성향이 조금은 보이는 듯 합니다.

 

結

 

1. 기존에 양정고 수학시험을 어렵게 만드는 부분들, 수능 고난이도 문제 스타일은 여전합니다. 16번과 서술형1번이 대표적입니다.

 

2. 더불어 학생들이 약간은 곤혹감을 겪었을 부분들이 있습니다. 문제집들에서 강조되지 않는 부분들, 구간에서의 연속성을 정의하는 것이라든가 전구간 불연속인 함수, 양의 무한대 발산과 진동의 구분 등... 최근에 본 어떤 시험지보다 “수학적 엄밀함”에 대해 많이 평가한 문제지였습니다. (좀 우스운 이야기지만, 저는 “미적분학 기본정리”도 교과 과정에서 날려버리는, 실용성 위주의 교과 과정 개편에 대한 분노가 좀 담긴 시험지같은 인상도 있었네요.^^;)

 

3. 이제 기말고사는 미분이네요. 물론, 미분은 그래프 해석의 모든 것이 담긴 단원이기에 수능형 어려운 문제의 보물창고라 할 수 있겠습니다. 그런데, 하나 주의를 주고 싶은 것이 있습니다. 이번 시험의 성향이 만약에 기말고사에 계속된다면, 의외의 복병을 만날 수 있는 부분이 있습니다. “미분가능성” 부분입니다. “함수에다 a 한 번 대입하고 미분해서 a 한 번 대입하고...” 정도로 이해하고 있으면 기말고사에 당황스러운 문제들을 또 만날 가능성이 있습니다. 혹시 “x=a에서 미분가능하다”의 정의를 물을 때 “에...연속이고...에...또...뾰족하지 않고...또...” 이러고 있다면, 미분가능성의 정확한 정의 -> 그래프상 특징 -> 연속성과의 관계 순으로 다시 차분하게 정리해 나가기를 권합니다.