Intro

고등학교 처음 입학한 후에 첫 수학 내신시험은 항상 실망하는 학생이 더 많습니다. 중3 겨울방학 동안 한다고 했는데, 겨우 이것밖에 안되나 싶기도 하고, “나 중학교 때 좀 했는데” 하고 낙관하고 있던 좋은 등급이 손에서 그냥 술술 빠져나가기도 합니다.

양정고1 시험이 어려웠다는 얘기가 많아서 한 번 살펴보겠습니다. 결론을 먼저 말씀드리자면, “그냥 양정고 시험지네...”입니다.

문항별 분석

1~5번

어려울 것 없는 기본기 문제입니다. 4번을 풀 때 전체 다 전개하느라 땀뺀 학생이 있다면, 인수분해된 식에서 필요한 항의 계수만 찾아낼 줄 아는 능력을 기르는게 도움이 됩니다. 5번에서 계산이 오래 걸린 학생이라면, “대칭적인 식은 합, 곱을 이용할 생각을 한다”는 것을 교훈으로 남기면 됩니다.

6번

조금은 테크닉이 있으면 도음이 되는 문제입니다. z를 먼저 구하면 1-2i가 됩니다. 머리 대신 손이 바쁠 각오를 한다면, 대입해서 계산 노가다를 해도 풀릴 겁니다. 식에 대한 감각이 있는 학생이라면 z-1=-2i로 만들어 양변을 제곱한 후 z가 만족하는 이차방정식을 먼저 찾을 겁니다. 그걸 이용하여 “나눗셈을 통한 나머지”를 구해도 좋고, z^2=2z-5를 이용하여 차수를 낮추어 가도 좋습니다.

7번

음...쉬운 문제이지만 결론은 하나입니다. “Graph First". 방정식의 해는 그래프의 교점. 해의 개수는 그래프 교점의 개수... 교점의 개수나 해의 개수를 따지는데 아직도 판별식이 전부라 생각한다면 그걸 바꾸기를 요구하는 문제입니다.

8번

의외로 쉽지 않네요. 인수분해를 통해서 문제에서 주어진 숫자를 적절히 소인수분해해서 적당한 값을 찾고 빨리 치우는게 상책입니다. 의외로 인수분해하면 31이라는 소인수가 빨리 보여서 93이 답인 건 금방 찾아집니다.

9번

문자가 4개나 되어서 당황스럽지만, 의외로 p=b와 q=4가 금방 찾아집니다. 근과 계수와의 관계에 익숙하고, 차근차근 필요한 값들을 찾아나간다면 금방 풀어지는 문제입니다.

10번

f(x)=x의 근이 0, 1/2, 1/3, 1/4. 따라서 f(x)-x=ax(x-1/2)(x-1/3)(x-1/4) 요렇게 식만 세우면 주어진 값을 대입하여 a만 구하면 끝나는 문제. 쉬운 유형은 아니지만 각 문제집에 워낙 자주 나오는 유형이라 이제 손에 익어 있었으리라 생각합니다. 나머지정리, 근의 의미.

11번

다 맞췄죠? 제곱하면 양의 실수가 되는 놈은 실수(0 제외), 음의 실수가 되는 놈은 순허수. 이후에는 조금의 계산이 남았을 뿐입니다.

12번

진위판별형 문제. 판별식을 중심으로 적당히 계수의 관계만 찾아 나가면 어려운 문제가 아닙니다.

13번

다항식 나눗셈 문제의 기본. 문제에서 요구한대로 식을 둘 줄 안다. Q(x) -> P(x) 순으로 차수를 먼저 파악하고 (x-2)^2으로 나눈 몫인 일차식을 다시 (x-2)로 나눈 형태를 이용하여 나머지를 찾아내는 형태입니다.

다항식의 나눗셈, 항등식의 의미를 잘 파악하는 동시에 필요한 형태로 식을 변형하는 능력을 함께 묻는 문제입니다. 처음 보는 유형은 전혀 아니지만, 다항식의 나눗셈 중 쉬운 문제는 아닙니다.

14번

갑자기 난이도가 확 뜁니다. 양정 객관식 마지막 문제에 가장 자주 보이는 유형입니다. 이번 단원에서 배운 내용을 이용하여 “함수를 새로 정의”하고, 그 함수에 대해서 파악하여 문제를 풀도록 유도하는 문제입니다. 이 문제를 풀 줄 아는 것에 그치지 않고, 새롭게 정의된 함수 형태의 문제에 조금 익숙해지도록 하는게 맞출 수 있는 비결입니다.

객관식 문제는 학교에서 해제를 주지 않았으니, 해제를 첨부합니다. 가급적이면 해결 과정의 사고의 흐름을 보여줄 수 있게 작성하였으니, 이 순서로 생각을 풀어나갈 수 있는지 복습해 봅시다. 미리 얘기하지만, 양정고 다니는 중에 “자주” 보게 될 형태입니다. 그리고, 수능 21번에 가장 자주 나오는 형태이기도 합니다.

웹상으로 수식 편집이 힘들어 이미지 별첨합니다.

서술형 1~3번

풀이가 있으니 따로 자세한 설명은 하지 않겠습니다. 교훈 하나. 14번에 비해서 “무진장” 쉬운 문제들입니다. 배점은요? 나중에 결론을 지을 때 이야기를 좀더 합시다.

서술형 4번

이차함수의 최댓값 최솟값은 경계와 대칭축에서의 함숫값 중에 있습니다. 대칭축이 미지수이니, 대칭축의 위치 따라 경우를 나누어서 최댓값과 최솟값을 구하고, 그것을 함수로 파악할 수 있으면 됩니다.

최고난이도 문제라기보다는 정석적인 수학실력, 그래프를 그리고 경우를 나누고 기타등등을 다 숙달되게 할 수 있어야 큰 시간을 안 잡아먹는 문제입니다. 1~3번과는 난이도 차이가 확 납니다.

結

미리 말씀드렸지만, 어려운 문제가 아니라 “그냥 양정고등학교에서 가장 흔하게 볼 수 있는 내신시험지”입니다.

몇 가지 특징을 짚어볼까요?

1) 계산 자체에 시간이 많이 걸리는 문제가 보이지 않았다.

2) 최고난이도 문항들은 객관식 / 주관식 뒤쪽에 배치되어 있으며, 둘다 함수를 새로 정의한 형태이다.

3) 문제 배치가 수능과 유사 (객관식 주관식 모두 앞쪽이 쉽고 뒤쪽이 어려움)

시험을 끝내고 “이 범위는 끝났으니 이제 다시 안봐” 하고 있는 친구들이 있다면, 꼭 다 다시 풀어봐야 합니다. 학교 스타일이 이렇게 정확하게 투영된 시험지인데 안 풀어보면 기말 때 후회합니다.

지금처럼 공부를 할 때는 모든 문제들에서 교훈을 얻고 자기 것으로 만들기 위해서 낑낑대 보아야 합니다. 결국 풀어내지 못한다 하더라도, 이런저런 방법으로 낑낑대고 그리고 했던 시간만큼이 자기 실력이 됩니다.

시험을 볼 때는요? 이렇게 배치된 문제 형태는 시험보는 방법도 명확합니다. 앞에서부터 쭈욱 풀다가 “여기서부터는 자신없다” 싶은 문제가 나타나면 일단 배점도 크고 난이도도 어렵지 않은 서술형 앞쪽으로 넘어가는게 핵심입니다. 수학실력이 좋은 학생이라면 이번 시험을 풀어내는 순서는 1~13, 서술형1~서술형3, 서술형4, 14 순서가 가장 적절할 것이고, 그보다 아직 공부를 더 해야 할 학생이라면 1~12, 서술형1~서술형3, 13, 서술형4, 14 순서가 가장 적절합니다.

물론 현실적으로 어려운 이야기입니다. 문제를 보고 쉬운지 어려운지 바로 알 정도면 사실 수학 고민 별로 안 하겠지요. 수학실력이 좋아짐에 따라서 “견적”도 더 정확하게 나올 겁니다.

음...죄송합니다. 양정고 시험을 돌파하는 이런저런 이야기를 했지만 결국은 또 그 뒷받침이 되어야 할 것은 “수학실력”이네요. 진짜 실력은 어떤 형식의 시험에도 배신하지 않습니다. 공부합시다!